El teorema binomial

 

Hacía ya más de medio milenio que los coeficientes binomiales para potencias enteras eran bien conocidos. Entre otros, Cardano y Pascal se habían dado cuenta perfectamente de la ley de formación sucesiva de dichos coeficientes, pero como no utilizaban la notación exponencial de Descartes no fueron capaces de hacer la relativamente sencilla generalización de un exponente entero a uno fraccionario.

Quedaba a Newton el dar estos desarrollos como parte de su método de series infinitas.

El teorema está explicado en dos cartas del año 1676 a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society y fue publicado por Wallis en su Algebra de 1685. La escritura se caracteriza por su complicidad y oscuridad, lo que indica que el descubrimiento no se redujo a una simple sustitución de un exponente entero por uno fraccionario, sino que fue más bien el resultado final de muchos ensayos equivocados por parte de Newton, en conexión con divisores y raíces de expresiones algebraicas.

El destinatario de la carta era Leibniz. En una segunda carta Newton explicaba en detalle exactamente como se había visto conducido a su serie binomial, partiendo de los cálculos de Wallis con respecto a áreas. Cabe desatacar que Newton no procedió directamente a partir de triangulo de Pascal para obtener el teorema binomial, sino de una manera indirecta a partir de un problema de cuadraturas.

 

El método de Newton

 

El “método de Newton” lo utilizó para la resolución aproximada de ecuaciones. Si la ecuación a resolver es f(x)=0, hay que localizar en primer lugar la raíz buscada entre dos valores x= a1 y x=b1 tales que en el intervalo (a1 ; b1 ) estén definidas y no se anulen ni la primera ni la segunda derivada; entonces en uno de los extremos , digamos a1 , f´(x) y f´´(x) tendrán el mismo signo; en este caso obtendremos una mejor aproximación x=a2 a la raíz tomando

        

 

 

 

 

 

y el procedimiento se puede aplicar para obtener una aproximación an tan precisa como se desee. Si f(x) es de la forma x2 - a entonces las sucesivas aproximaciones por el método de Newton son las mismas que se obtiene por el antigua algoritmo para las raíces cuadradas de la antigua Babilonia y de ahí que este antiguo procedimiento recibe a veces indebidamente el nombre de “algoritmo de Newton”. En el caso de que f(x) sea un polinomio, el método de Newton coincide esencialmente con el método chino-árabe llamado “método de Horner”, pero la gran ventaja del método newtoniano está en que se puede aplicar igualmente a ecuaciones en las  que aparezcan funciones trascendentales.

 

La Arithmetica Universalis

 

Este famoso tratado contiene las fórmulas para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica, formulas conocidas usualmente como “identidades de Newton”.

Cardano, Viete y Girald habían trabajado este problema hasta las cuartas potencias pero Newton fue quien finalmente extendió estos resultados para cubrir todas las potencias.

En este libro aparece también un teorema que generaliza la regla de los signos de Descartes para determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como una regla para hallar una cota superior para las raíces positivas.